В нелинейных электрических цепях связь между входным сигналом U Вх. (T ) и выходным сигналом U Вых. (T ) описывается нелинейной функциональной зависимостью

Такую функциональную зависимость можно рассматривать как математическую модель нелинейной цепи.

Обычно нелинейная электрическая цепь представляет совокупность линейных и нелинейных двухполюсников. Для описания свойств нелинейных двухполюсников часто пользуются их вольтамперными характеристиками (ВАХ). Как правило, ВАХ нелинейных элементов получают экспериментально. В результате эксперимента ВАХ нелинейного элемента получают в виде таблицы. Этот способ описания пригоден для анализа нелинейных цепей с помощью ЭВМ.

Для изучения процессов в цепях, содержащих нелинейные элементы, необходимо отобразить ВАХ в математической форме, удобной для расчетов. Для использования аналитических методов анализа требуется подобрать аппроксимирующую функцию, достаточно точно отражающую особенности экспериментально снятой характеристики. Чаще всего используются следующие способы аппроксимации ВАХ нелинейных двухполюсников.

Показательная аппроксимация. Из теории работы p-n перехода следует, что вольт-амперная характеристика полупроводникового диода при u>0 описывается выражением

. (7.3)

Показательную зависимость часто используют при изучении нелинейных цепей, содержащих полупроводниковые приборы. Аппроксимация вполне точна при значениях тока, не превышающих несколько миллиампер. При больших токах экспоненциальная характеристика плавно переходит в прямую линию из-за влияния объемного сопротивления полупроводникового материала.

Степенная аппроксимация. Этот способ основан на разложении нелинейной вольтамперной характеристики в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U 0 :

Здесь коэффициенты …. – некоторые числа, которые можно найти из полученной экспериментально вольтамперной характеристики. Количество членов разложения зависит от требуемой точности расчетов.

Пользоваться степенной аппроксимацией при больших амплитудах сигналов нецелесообразно из-за существенного ухудшения точности.

Кусочно-линейная аппроксимация Применяется в случаях, когда в схеме действуют большие сигналы. Способ основан на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. Например, передаточная характеристика реального транзистора может быть аппроксимирована тремя отрезками прямых, как показано на рис.7.1.

Рис.7.1 .Передаточная характеристика биполярного транзистора

Аппроксимация определяется тремя параметрами: напряжением начала характеристики , крутизной , имеющей размерность проводимости и напряжением насыщения , при котором возрастание тока прекращается. Математическая запись аппроксимированной характеристики такова:

(7.5)

Во всех случаях ставится задача нахождения спектрального состава тока, обусловленного воздействием на нелинейную цепь гармонических напряжений. При кусочно-линейной аппроксимации схемы анализируют методом угла отсечки.

Рассмотрим для примера работу нелинейной цепи при больших сигналах. В качестве нелинейного элемента используем биполярный транзистор, работающий с отсечкой коллекторного тока. Для этого при помощи начального напряжения смещения Е См рабочая точка устанавливается таким образом, чтобы транзистор работал с отсечкой коллекторного тока, и одновременно подадим на базу входной гармонический сигнал.

Рис.7.2. Иллюстрация отсечки тока при больших сигналах

Угол отсечки θ – половина той части периода, в течение которой коллекторный ток не равен нулю, или, другими словами, часть периода от момента достижения коллекторным током максимума до момента, когда ток становится равным нулю – «отсекается».

В соответствии с обозначениями на рис.7.2 коллекторный ток для I > 0 описывается выражением

Разложение этого выражения в ряд Фурье позволяет найти постоянную составляющую I 0 и амплитуды всех гармоник коллекторного тока. Частоты гармоник кратны частоте входного сигнала, а относительные амплитуды гармоник зависят от угла отсечки. Анализ показывает, что для каждого номера гармоники существует оптимальный угол отсечки θ, При котором ее амплитуда максимальна:

. (7.7)

Рис.7.8 . Схема умножения частоты

Подобные схемы (рис.7.8) часто применяются для умножения частоты гармонического сигнала в целое число раз. Настройкой колебательного контура, включенного в коллекторную цепь транзистора, можно выделить нужную гармонику исходного сигнала. Угол отсечки устанавливается, исходя из максимального значения амплитуды заданной гармоники. Относительная амплитуда гармоники уменьшается с ростом ее номера. Поэтому описанный метод применим при коэффициентах умножения N ≤ 4. Применяя многократное умножение частоты, можно на основе одного высокостабильного генератора гармонических колебаний получить набор частот с такой же относительной нестабильностью частоты, как у основного генератора. Все эти частоты кратны частоте входного сигнала.

Свойство нелинейной цепи обогащать спектр, создавая на выходе спектральные составляющие, первоначально отсутствовавшие на входе, ярче всего проявляются, если входной сигнал представляет собой сумму нескольких гармонических сигналов с различными частотами. Рассмотрим случай воздействия на нелинейную цепь суммы двух гармонических колебаний. Вольтамперную характеристику цепи представим многочленом 2-й степени:

. (7.8)

Входное напряжение помимо постоянной составляющей содержит два гармонических колебания с частотами и , амплитуды которых равны и соответственно:

. (7.9)

Такой сигнал называется бигармоническим. Подставив этот сигнал в формулу (7.8), выполнив преобразования и сгруппировав члены, получим спектральное представление тока в нелинейном двухполюснике:

Видно, что в спектре тока присутствуют слагаемые, входящие в спектр входного сигнала, вторые гармоники обоих источников входного сигнала а также гармонические составляющие с частотами ω1 — ω2 и ω1 + ω2 . Если степенное разложение вольтамперной характеристики представлено многочленом 3-й степени, спектр тока будет содержать также частоты . В общем случае при воздействии на нелинейную цепь нескольких гармонических сигналов с разными частотами в спектре тока появляются комбинационные частоты

Где – любые целые числа, положительные и отрицательные, включая нуль.

Возникновение комбинационных составляющих в спектре выходного сигнала при нелинейном преобразовании обусловливает ряд важных эффектов, с которыми приходится сталкиваться при построении радиоэлектронных устройств и систем. Так, если один из двух входных сигналов промодулирован по амплитуде, то происходит перенос модуляции с одной несущей частоты на другую. Иногда за счет нелинейного взаимодействия наблюдается усиление или подавление одного сигнала другим.

На основе нелинейных цепей осуществляется детектирование (демодуляция) амплитудно-модулированных (АМ) сигналов в радиоприемниках. Схема амплитудного детектора и принцип его работы поясняются на рис.7.9.

Рис.7.9. Схема амплитудного детектора и форма выходного тока

Нелинейный элемент, вольтамперная характеристика которого аппроксимирована ломаной линией, пропускает только одну (в данном случае положительную) полуволну входного тока. Эта полуволна создает на резисторе импульсы напряжения высокой (несущей) частоты с огибающей, воспроизводящей форму огибающей амплитудно-модулированного сигнала. Спектр напряжения на резисторе содержит частоту несущей , ее гармоники и низкочастотную составляющую, которая примерно вдвое меньше амплитуды импульсов напряжения. Эта составляющая имеет частоту , равную частоте огибающей, т. е. представляет собой продетектированный сигнал. Конденсатор совместно с резистором образует фильтр низких частот. При выполнении условия

(7.12)

В спектре выходного напряжения остается только частота огибающей. При этом также происходит увеличение выходного напряжения за счет того, что при положительной полуволне входного напряжения конденсатор быстро заряжается через малое сопротивление открытого нелинейного элемента почти до амплитудного значения входного напряжения, а при отрицательной полуволне – не успевает разрядиться через большое сопротивление резистора . Приведенное описание работы амплитудного детектора соответствует режиму большого входного сигнала, при котором ВАХ полупроводникового диода аппроксимируется ломаной прямой.

В режиме малого входного сигнала начальный участок ВАХ диода может быть аппроксимирован квадратичной зависимостью. При подаче на такой нелинейный элемент амплитудно-модулированного сигнала, спектр которого содержит несущую и боковые частоты, возникают частоты с суммарной и разностной частотами. Разностная частота представляет собой продетектированный сигнал, а несущая и суммарная частоты не проходят через фильтр низких частот, образованный элементами и .

Обычный прием детектирования частотно-модулированных (ЧМ) колебаний состоит в том, что ЧМ колебание сначала преобразуется в АМ колебание, которое затем детектируется вышеописанным способом. В качестве простейшего преобразователя ЧМ в АМ может служить расстроенный относительно несущей частоты колебательный контур. Принцип преобразования ЧМ сигналов в АМ поясняется на рис.7.10.

Рис.7.10. Преобразование ЧМ в АМ

При отсутствии модуляции рабочая точка находится на скате резонансной кривой контура. При изменении частоты изменяется амплитуда тока в контуре, т. е. происходит преобразование ЧМ в АМ.

Схема преобразователя ЧМ в АМ показана на рис.7.11.

Рис.7.11. Преобразователь ЧМ в АМ

Недостатком такого детектора являются искажения продетектированного сигнала, возникающие из-за нелинейности резонансной кривой колебательного контура. Поэтому на практике применяются симметричные схемы, обладающие лучшими характеристиками. Пример такой схемы приведен на рис.7.12.

Рис.7.12. Детектор ЧМ сигналов

Два контура настраиваются на крайние значения частоты, т. е. на частоты И . Каждый из контуров преобразует ЧМ в АМ, как описано выше. АМ колебания детектируются соответствующими амплитудными детекторами. Низкочастотные напряжения и противоположны по знаку, и с выхода схемы снимается их разность. Характеристика детектора, т. е. зависимость выходного напряжения от частоты, получается путем вычитания двух резонансных кривых и более линейна. Такие детекторы называются дискриминаторами (различителями).

Классический метод анализа процессов в линейных цепях часто оказывается связанным с необходимостью проведения громоздких преобразований.

Альтернативой классическому методу является операторный (операционный) метод. Его сущность состоит в переходе посредством интегрального преобразования над входным сигналом от дифференциального уравнения к вспомогательному алгебраическому (операционному) уравнению. Затем находится решение этого уравнения, из которого с помощью обратного преобразования получают решение исходного дифференциального уравнения.

В качестве интегрального преобразования наиболее часто используют преобразование Лапласа, которое для функции s (t ) дается формулой:

где p - комплексная переменная: . Функция s(t ) называется оригиналом, а функция S (p ) - ее изображением.

Обратный переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа

Выполнив преобразование Лапласа обеих частей уравнения (*), получим:

Отношение изображений Лапласа выходного и входного сигналов носит название передаточной характеристики (операторного коэффициента передачи) линейной системы:

Если передаточная характеристика системы известна, то для нахождения выходного сигнала по заданному входному сигналу необходимо:

· - найти изображение Лапласа входного сигнала;

· - найти изображение Лапласа выходного сигнала по формуле

· - по изображению S вых (p ) найти оригинал (выходной сигнал цепи).

В качестве интегрального преобразования для решения дифференциального уравнения может использоваться также преобразование Фурье, являющееся частным случаем преобразования Лапласа, когда переменная p содержит только мнимую часть. Отметим, что для того чтобы к функции можно было применить преобразование Фурье, она должна быть абсолютно интегрируемой. Это ограничение снимается в случае преобразования Лапласа.

Как известно, прямое преобразование Фурье сигнала s (t ), заданного во временной области, является спектральной плотностью этого сигнала:

Выполнив преобразование Фурье обеих частей уравнения (*), получим:

Отношение изображений Фурье выходного и входного сигналов, т.е. отношение спектральных плотностей выходного и входного сигналов, называется комплексным коэффициентом передачи линейной цепи:

Если комплексный коэффициент передачи линейной системы известен, то нахождение выходного сигнала для заданного входного сигнала производят в следующей последовательности:

· определяют с помощью прямого преобразования Фурье спектральную плотность входного сигнала;

· определяют спектральную плотность выходного сигнала:

· с помощью обратного преобразования Фурье находят выходной сигнал, как функцию времени

Если для входного сигнала существует преобразование Фурье, то комплексный коэффициент передачи может быть получен из передаточной характеристики заменой р на j .

Анализ преобразования сигналов в линейных цепях с использованием комплексного коэффициента передачи называется методом анализа в частотной области (спектральным методом).

На практике К (j ) часто находят методами теории цепей на основании принципиальных схем, не прибегая к составлению дифференциального уравнения. Эти методы базируются на том, что при гармоническом воздействии комплексный коэффициент передачи может быть выражен в виде отношения комплексных амплитуд выходного и входного сигналов

линейный цепь сигнал интегрирующий

Если входной и выходной сигналы являются напряжениями, то K (j ) является безразмерным, если соответственно током и напряжением, то K (j ) характеризует частотную зависимость сопротивления линейной цепи, если напряжением и током, то - частотную зависимость проводимости.

Комплексный коэффициент передачи K (j ) линейной цепи связывает между собой спектры входного и выходного сигналов. Как и любая комплексная функция, он может быть представлен в трех формах (алгебраической, показательной и тригонометрической):

где - зависимость от частоты модуля

Зависимость фазы от частоты.

В общем случае комплексный коэффициент передачи можно изобразить на комплексной плоскости, откладывая по оси действительных величин, - по оси мнимых значений. Полученная при этом кривая называется годографом комплексного коэффициента передачи.

На практике большей частью зависимости К () и k () рассматриваются отдельно. При этом функция К () носит название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), а функция k () - фазо-частотной характеристики (ФЧХ) линейной системы. Подчеркнем, что связь между спектром входного и выходного сигналов существует только в комплексной области.

4.1. Классификация и характеристики

параметрических цепей

Литература: [Л.1], стр. 307-308

[Л.2], стр. 368-371

Параметрическими называются радиотехнические цепи, оператор преобразования которых зависит от времени. Закон преобразования сигнала в параметрической цепи записывается выражением:

Параметрический резистор , сопротивление которого изменяется во времени по заданному закону и вместе с тем не зависит от величины входного сигнала, может быть реализован на базе безынерциального нелинейного элемента с вольт-амперной характеристикой , на вход которого подается сумма преобразуемого сигнала и управляющего напряжения (рис. 4.1).

Положение рабочей точки А на характеристике определяется постоянным напряжением смещения . Так как напряжение сигнала гораздо меньше напряжения смещения , то такой слабый сигнал можно считать малым приращением по отношению к и сопротивление нелинейного элемента по отношению к сигналу оценивать дифференциальным сопротивлением

. (4.2)

Величина, обратная , как известно, называется дифференциальной крутизной

. (4.3)

Если, например, ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется полиномом:

то в соответствии с (4.3), получим

или, учитывая, что

Ток, вызванный полезным сигналом

Таким образом, по отношению к сигналу справедливо условие (4.1) и по отношению к сигналу нелинейный элемент ведет себя как линейный, но с переменной крутизной .

Существенной особенностью параметрического резистора является то, что его сопротивление или крутизна могут быть отрицательными . Это имеет место при выборе рабочей точки на спадающем участке вольт-амперной характеристики (точка В на рис. 4.1).

Переменную управляемую емкость в параметрических цепях реализуют при помощи специальных полупроводниковых диодов, называемых варикапами . Работа этих диодов основана на следующем эффекте: если к переходу диода приложено напряжение обратной полярности, то разделенный заряд в запирающем слое является нелинейной функцией приложенного напряжения . Зависимость называют кулон-вольтовой характеристикой

где – значение емкости.

Так же, как и сопротивление резистора, емкость может быть статической и дифференциальной. Дифференциальная емкость определяется следующим образом

. (4.5)

Здесь – исходное запирающее напряжение варикапа.

При изменении напряжения, приложенного к варикапу (конденсатору) возникает ток:

Очевидно, чем больше запирающее напряжение, тем больше величина обратного перехода, тем меньше значение .

Переменную управляемую индуктивность в параметрических цепях можно реализовать на базе катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником, магнитная проницаемость которого зависит от величины подмагничивающего тока . Однако, вследствие большой инерционности процессов перемагничивания материала сердечника, переменные управляемые индуктивности не нашли применения в параметрических радиотехнических цепях.

И фазовыми сдвигами

. (1.3.1)

Коэффициенты - вещественные амплитуды гармоник с их знаками – можно вычислить по спектрам одиночных сигналов:

, (1.3.2)

где - запаздывание (смещение) центра сигналов относительно начала координат , равное в конкретном случае половине длительности импульсов.

Спектры одиночных прямоугольного и треугольного импульсов амплитудой и длительностью соответственно равны

; (1.3.3)

1.4. Преобразование сигналов в линейных цепях

Амплитудные и фазовые искажения в линейных цепях определяются их амплитудно-частотной (частотной) и фазочастотной (фазовой) характеристиками. Амплитуды k-х гармоник изменяются в раз, а начальные фазы смещаются на . Следовательно, на выходе линейной цепи получаем новые значения амплитуд гармоник и фазовых сдвигов: . Синтезируемый сигнал принимает вид

. (1.4.1)

Частотная и фазовая характеристики линейных цепей первого порядка

, (1.4.2)

где Т0 – постоянная времени цепи.

2. Моделирование искажений сигналов в линейных цепях

1. Установить параметры (целесообразно нормированные) прямоугольного и треугольного сигналов, расположенных в начале координат (при t=0): амплитуда А=1, период следования Т=1, длительность t в пределах (0.1….0.5)Т. При этом следует иметь ввиду, что в описании представлены формулы, а не операторы системы.

2. Ввести спектры прямоугольного и треугольного сигналов согласно (1.3.3) .

3. Задать число определяемых гармоник в пределах .

где - смещение (запаздывание) центра сигналов относительно начала координат (t=0), равное в данном случае половине длительности импульсов.

5. Построить гистограммы массивов коэффициентов и фаз .

6. Синтезировать сигнал рядом Фурье:

.

7. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи:

8. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи при равной нулю фазовой характеристики цепи с целью оценки амплитудных искажений:

.

9. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи при постоянном коэффициенте передачи (и наличии только фазовых сдвигов в цепи с целью оценки фазовых искажений:

.

10. Построить графики и сравнить исходные и синтезированные сигналы

при разных значениях числа гармоник.

отклонения) синтезированного сигнала на выходе цепи. Общая

расчетная формула для оценки погрешностей

.

12. Изменяя длительности импульсов и постоянную времени цепи изучить

зависимости искажений от сигналов от параметров цепи.

13. Повторить анализ преобразования, амплитудных и фазовых искажений

сигналов в линейной цепи второго порядка при различных значениях собственной частоты и степени затухания :

.

Контрольные вопросы

1. Ортогональные и ортонормированные системы базисных функций. Типовые системы ортогональных функций.

2. Представление сигналов ортогональными системами функций и определение коэффициентов.

3. Представление сигналов рядом и интегралом Фурье. Области применения.

4. Принцип построения спектральных диаграмм базисных функций.

5. Основные принципы анализа и синтеза сигналов.

6. Частотные и фазовые характеристики линейных цепей.

7. Оценка амплитудных и фазовых искажений сигналов в линейных цепях.

Библиографический список

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 1988. С. 38-55, 184-202.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. С. 16-67.

3. Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов.

Л.: Энергоатомиздат, 1990.

4. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.

М.: Наука, 1978.

5. Орнатский П.П. Теоретические основы информационно-измерительной техники. Киев: Вища школа, 1983. С. 190-197.

6. Садовский Г.А. Аналитическое описание сигналов. Рязань: РРТИ,1987.

7. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962. С. 9-33.

Лабораторная работа №2. Спектры модулированных сигналов

1. Теоретическая часть

1.1. Модуляция и демодуляция

Для передачи измерительной информации параметры сигнала-носителя подвергаются модуляции. Процесс управления (изменения) параметров несущего сигнала в соответствии со значением измеряемой (передаваемой, преобразуемой) величины называется модуляцией, управляющая величина - модулирующей, а сигнал-носитель - модулированным. Если модуляции подвергается только один параметр сигнала-носителя, имеет место однопараметрическая модуляция, в противном случае – многопараметрическая. Преобразователи, в которых осуществляется модуляция сигнала, называются модуляторами. Выделение модулирующей функции из модулированного сигнала – демодуляция, а преобразователи модулированного сигнала в модулирующий называются демодуляторами.

Непрерывный гармонический сигнал-носитель описывается функцией

где амплитуда, круговая (угловая) частота (циклическая частота, период), начальная фаза – постоянные параметры гармонического сигнала. Изменению (модуляции) могут подвергаться амплитуда амплитудная модуляция (АМ), частота частотная модуляция (ЧМ), фаза фазовая модуляция (ФМ).

Прохождение сигналов через резистивные параметрические цепи. Преобразование частоты

12.1 (О). Идеальный источник ЭДС создает напряжение (В)и = 1.5 cos 2π · l0 7 t . К зажимам источника подключен резистивный элемент с переменной во времени проводимостью (См)G (t ) = 10 -3 + 2 · 10 -4 sin 2π · l0 6 t . Найдите амплитуду токаI т , имеющего частоту 9.9 МГц.

12.2(О). Вещательный приемник длинноволнового диапазона предназначен для приема сигналов в диапазоне частот отf c min = 150 кГц доf c max = 375 кГц. Промежуточная частота приемникаf пр = 465 кГц. Определите, в каких пределах следует перестраивать частоту гетеродинаf г данного приемника.

12.3(УО). В супергетеродинном приемнике гетеродин создает гармонические колебания с частотойf г = 7.5 МГц. Промежуточная частота приемникаf пр = 465 кГц; из двух возможных частот принимаемого сигнала основному каналу приема отвечает большая, а зеркальному каналу - меньшая частота. Для подавления зеркального канала на входе преобразователя частоты включен одиночный колебательный контур, настроенный на частоту основного канала. Найдите значение добротностиQ этого контура, при которой ослабление зеркального канала составит - 25 дБ по отношению к основному каналу приема.

12.4(О). Дифференциальная крутизна резистивного параметрического элемента, входящего в преобразователь частоты, изменяется по законуS диф (t ) =S 0 +S 1 cosω г t , гдеS 0 ,S 1 - постоянные числа,ω г - угловая частота гетеродина. Считая, что промежуточная частотаω пр известна, найдите частоты сигналаω с, при которых возникает эффект на выходе преобразователя.

12.5(Р). Проходная характеристика полевого транзистора, т.е. зависимость тока стокаi c (мА) от управляющего напряжения затвор - истоки зи (В) прии зи ≥ -2 В, аппроксимирована квадратичной параболой:i с = 7.5(u зи + 2) 2 . Ко входу транзистора приложено напряжение гетеродинаи зи =U m г cosω г t . Найдите закон изменения во времени дифференциальной крутизныS диф (t ) характеристикиi с =f (и зи).

12.6(УО). Применительно к условиям задачи 12.5 выберите амплитуду напряжения гетеродинаU m г таким образом, чтобы обеспечить крутизну преобразованияS пр = 6 мА/В.

12.7(О). В преобразователе частоты использован полупроводниковый диод, ВАХ которого описана зависимостью (мА)

К диоду приложено напряжение гетеродина (В) u г = 1.2 cosω г t . Вычислите крутизну преобразованияS пр данного устройства.

12.8(УО). В диодном преобразователе частоты, который описан в задаче 12.7, к диоду приложено напряжение (В)u (t ) =U 0 + 1.2 cosω г t . Определите,

при каком напряжении смещенияU 0 < 0 крутизна преобразования составит величину 1.5 мА/В.

12.9(УО). Схема преобразователя частоты на полевом транзисторе изображена на рис. I.12.1. Колебательный контур настроен на промежуточную частотуω пр = |ω с -ω г |. Резонансное сопротивление контураR рез = 18 кОм. Ко входу преобразователя приложена сумма напряжения полезного сигнала (мкВ)u с (t ) = 50 cosω c t и напряжения гетеродина (В)u г (t ) = 0.8 cosω г t . Характеристика транзистора описана в условиях задачи 12.5. Найдите амплитудуU m пр выходного сигнала на промежуточной частоте.

Прохождение сигналов через параметрические реактивные цепи. Параметрические усилители

12.10(Р). Дифференциальная емкость параметрического диода (варактора) в окрестности рабочей точкиU 0 зависит от приложенного напряженияи следующим образом:С диф (u ) =b 0 +b 1 (u -U 0), гдеb 0 (пФ) иb 1 (пФ/В) - известные числовые коэффициенты. К варактору приложено напряжениеu =U 0 +U m cosω 0 t . Получите формулу, описывающую токi (t ) через варактор.

12.11(УО). Дифференциальная емкость варактора описана выражениемC диф (u ) =b 0 +b 1 (u -U 0) +b 2 (u -U 0) 2 . К зажимам варактора приложено напряжениеu =U 0 +U m cosω 0 t . Вычислите амплитудуI 3 третьей гармоники тока через варактор, еслиf 0 = 10 ГГц,U m =1.5 В,b 2 = 0.16 пФ/В 2 .

12.12(О). Варактор имеет параметры:b 0 = 4 пФ,b 2 = 0.25 пФ/В 2 . К варактору приложено высокочастотное напряжение с амплитудойU m = 0.4 В. Определите, во сколько раз возрастет амплитуда первой гармоники токаI 1 если величинаU m станет равной 3 В.

12.13(УО). Емкость параметрического конденсатора изменяется во времени по законуС (t ) =С 0 ехр (-t /τ) σ (t ), гдеС 0 , τ - постоянные величины. К конденсатору подключен источник линейно нарастающего напряженияu (t ) =at σ(t ). Вычислите закон изменения во времени токаi (t ) в конденсаторе.

12.14(УО). Применительно к условиям задачи 12.13 найдите момент времениt 1 , в который мгновенная мощность, потребляемая конденсатором из источника сигнала, максимальна, а также момент времениt 2 , в который максимальной оказывается мощность, отдаваемая конденсатором во внешние цепи.

12.15(Р). Одноконтурный параметрический усилитель подключен со стороны входа к источнику ЭДС (генератору) с внутренним

сопротивлениемR г = 560 Ом. Усилитель работает на резистивную нагрузку с сопротивлениемR н = 400 Ом. Найдите величину вносимой проводимостиG вн, которая обеспечивает коэффициент усиления мощностиК Р = 25 дБ.

12.16(О). Для параметрического усилителя, описанного в задаче 12.15, найдите критическую величину вносимой проводимостиG вн кр, при которой система оказывается на пороге самовозбуждения.

12.17(УО). К зажимам управляемого параметрического конденсатора приложено напряжение сигналаu (t ) =U m cos(ω c t +π/3). Емкость конденсатора изменяется во времени по законуC (t ) =C 0 " гдеφ н - начальный фазовый угол колебания накачки. Выберите наименьшее по модулю значениеφ н, которое обеспечивает нулевое значение вносимой проводимости.

12.18(О). Применительно к условиям задачи 12.17 для значений параметровС 0 = 0.3 пФ, β = 0.25 иω с = 2π · 10 9 с -1 вычислите наибольшее по модулю значение отрицательной проводимостиG вн max , а также наименьший по модулю фазовый уголсра, обеспечивающий такой режим.

12.19(Р). Двухконтурный параметрический усилитель предназначен для работы на частотеf с = 2 ГГц. Холостая частота усилителяf хол = 0.5 ГГц. Использованный в усилителе варактор изменяет свою емкость (пФ) с частотой накачкиω н по законуС (t ) = 2(1 + 0.15 cosω н t ). Источник сигнала и устройство нагрузки имеют одинаковые активные проводимостиG г =G н = 2 · 10 -3 См. Вычислите величину резонансного сопротивления холостого контураR рез.хол, при котором в усилителе возникает самовозбуждение.